Дроби

Определение дроби:

Пример:

Основное свойство дроби:

Сокращение дроби:

Основное свойство дроби позволяет сокращать дроби

Приведение к общему знаменателю:

Чтобы привести дроби к общему знаменателю нужно:

1. Найти Наименьшее Общее Кратное их знаменателей.
2. Найти недостоющие множители.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой из дробей на соответствующий ей недостоющий множитель.

Сравнение дробей:

Важно!!! Чтобы сравнить дроби нужно привести их к общему знаменателю

• Больше та дробь, числитель которой больше.
• Меньше та дробь, числитель которой меньше.

Сумма и разность дробей:

Чтобы найти сумму/или разность дробей нужно:

1. Привести дроби к общему знаменателю.
2. Найти сумму/разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Сумма и разность смешанных чисел:

Чтобы найти сумму/разность смешанных чисел нужно:

1. Найти сумму/разность целых частей отдельно от суммы/разности дробных частей.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Найти сумму/разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.
4. Записать целую часть перед дробной.

Десятичная запись:

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную нужно:

1. Поделить числитель на знаменатель в столбик.
2. Когда целая часть закончилась, поставить после неё запятую и умножить на 10 делимое.
3. Продолжать делить до тех пор пока деление не будет завершено или не появится период.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную нужно:

1. Число стоящее перед запятой записать перед дробью как целую часть.
2. Число стоящее после запятой записать в числитель обыкновенной дроби.
3. Определить разряд числа стоящего после запятой, умножить его на 10 и записать в знаменатель обыкновенной дроби.

Дроби примеры:

Степени:

Определение степени:

• Степенью числа называют произведение одинаковых множителей.
• Основанием степени называют перемножаемое число.
• Показтель степени записыватся справа над основанием и указывает сколько раз нужно перемножить основание.

Пример:

$$a^b=a*a*a*...*a$$ множитель \(a\) повторяется \(b\) раз

Свойства степеней:

• \(a^{b}*a^{c}=a^{b+c}\) При перемножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

• \(a^{b}\div{a^{c}}=a^{b-c}\) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя первой степени вычитается показатель второй.

• \(a^{b}*c^{b}=(a*c)^{b}\) При произведении степеней с одинаковым показателем общий паказатель можно вынети за скобку.

• \((a^b)^c=a^{bc}\) При раскрытии скобок показатель в скобке умножается на показатель за скобкой.

• \(a^1=a\) Первая степень любого числа - есть это число.

• \(a\neq0 \Rightarrow a^0=1\) Любое число в нулевой степени (КРОМЕ НУЛЯ) равно единице.

• \(a\neq0 \Rightarrow a^{-b}=\frac{1}{a^b}\) Любое число в отрицательной степени (КРОМЕ НУЛЯ) - есть дробь с числителем равным единице и знаменателем равным \(a^b\)

• \((-a)^{2n}=+c\) Отрицательное основание в чётной степени даёт положительный результат.

• \((-a)^{2n+1}=-c\) Отрицательное основание в НЕчётной степени даёт отрицательный результат.

• \(a^b>c^b\; a,c>1 \Rightarrow a>c\;\) Больше та степень, основание которой больше.

• \(a^b>a^c\; a>1\Rightarrow b<c\;\) Из двух степеней с одинаковым основанием больше та, показатель которой больше. При условии, что основание больше единицы.

Корень и радикал:

По сути корень квадратный (а также корень любой другой степени) это просто дробная степень. Вместо корня с чётным показателем в школе на самом деле говорят про корень арифметический.

• \[\sqrt[2n]{a}= \left |b\right |\; a=b^{2n}\] Корень арифметический из \(a\) с чётным показателем - это модуль такого числа \(b\), что \(b^{2n}=a\).

• \[\sqrt[2n+1]{a}= b\; a=b^{2n+1}\] Корень из \(a\) с НЕчётным показателем - это такое число \(b\), что \(b^{2n+1}=a\).

Т.к. радикал (корень) это степень с дробным показателем, то можно записать его в виде:

Сравнение радикалов:

• Чтобы сравнить два числа первое из которых под корнем, нужно либо вычеслить корень первого числа, либо если под корнем стоит неудобное для извлечения число занести второе число под корень.